2 minuutin lukujen vertailutehtävä eskarissa ennustaa matikan taitoja ekalla luokalla

Kanadalainen matemaattisten taitojen tutkimusryhmä on kehittänyt opettajien (ja tutkijoiden) käyttöön yksinkertaisen tehtävän matemaattisten valmiuksien arviointiin. Esikouluiässä ryhmässäkin käytettäväksi soveltuvan tehtävän tekeminen kestää viitisen minuuttia. Tehtävässä on kaksi osaa, lukujen ja lukumäärien vertailu. Lapsen tehtävänä on 2 minuutin aikana yliviivata luku- tai lukumääräpareista aina suurempi niin nopeasti kuin ehtii (ks. kuva). Lapsen pistemäärä on oikeiden vastausten lukumäärä.

Uudessa tutkimuksessaan he selvittivät, ennustaako eskari-ikässä (6v) tehty testi ensimmäisen luokan matemaattista osaamista (Hawes ym., 2019). Koko otokseen mahtui yli 400 lasta, mutta sen lisäksi vajaalle 150:lle lapselle tehtiin laajempi taitokartoitus.

Lukujen, mutta ei lukumäärien vertailutehtävä, ennusti ensimmäisen luokan matemaattisia taitoja senkin jälkeen kun ensin oli otettu huomioon lasten suoriutuminen eskari-iässä kielellisessä työmuistissa, nopeassa nimeämisessä ja aritmeettisissa taidoissa.

Helppokäyttöisistä ja nopeista, mutta luotettavista lasten taitojen mittareista on puutetta. Lukujen vertailutehtävä näyttäisi toimivan varsin mallikkaasti ja kaikille ilmaisena saattaa olla yksi työkalu, joka Suomeen normitettuna saattaisi olla mitä mainioin apuväline kartoitettaessa varhaisen tuen tarpeessa olevia oppilaita.

Viitteet

Hawes, Z., Nosworthy, N., Archibald, L., & Ansari, D. (2019). Kindergarten children’s symbolic number comparison skills predict 1st grade mathematics achievement: Evidence from a two-minute paper-and-pencil test. Learning and Instruction, 59, 21-33.

Jos ensin harjoittelee laskua 5+7–7 , niin 16+47–45 muuttuu helpommaksi –kokeellinen tutkimus aikuisilla

Vanha suomalainen sananlasku sanoo, että Nokia -connecting people, disconnecting families (Nokia yhdistää ihmiset, erottaa perheet). Myös matematiikassa nokialaisuus voi olla valttia. Yhdistämällä ja erottamalla lukuja eri tavoin voi päässälaskemisesta tehdä paljon helpompaa ja sujuvampaa.

Assosiatiivisuus eli liitännäisyys on monelle koulumatematiikasta tuttu, mutta helposti unohtuva sääntö. Koska yhteen- ja vähennyslasku ovat toisiinsa liittyviä, niin niissä lukuja voidaan siirrellä ja yhdistellä vapaasti “(3+2)+1=(1+2)+3” tai 5+2–5=2+(5–5). Samalla tavoin kerto- ja jakolasku muodostavat toiminnallisen parin.

Kun aikuisilla päässälaskutaito on ajan saatossa päässyt rapistumaan tai se ei koskaan ole kehittynytkään sujuvaksi, tuppaamme laskemaan suoraan muistista vasemmalta oikealle, emmekä helposti huomaa, että sama lasku olisi voinut olla paljon helpompi suorittaa liitännäisyyttä hyödyntäen. Otetaan vaikka esimerkiksi lasku ‘4+7+6’ ja vertaa sitä sitä laskuun ‘6+4+7’. Kumpi on mielestäsi helpompi laskea vasemmalta oikealle?

Eaves kumppaneineen (2019) teki kolme pientä kokeilua aikuisilla tavoitteenaan houkutella aikuisia huomaamaan liitännäisyyden hyödyntämisen edut. Koehenkilöinä oli yliopisto-opiskelijoita.

Kokeiden asetelma oli yksinkertainen. He laittoivat osan koehenkilöistä laskemaan ensin laskuja muodossa ‘8+5–5’ ja osan ‘5+8-5’, eli samoja laskuja, mutta ensimmäisessä liitännäisyys löytyy selkeästi oikealta puolelta laskua ja jälkimmäisessä se on molemmilla puolilla. Heidän ajatuksensa oli ainoastaan houkutella laskijaa kiinnittämään huomiota laskun oikeaan laitaan ennen laskemisen aloittamista. Näin liitännäisyyden mahdollisuus olisi helpompi huomata, eikä laskemista aloitettaisi suoraan mekaanisesti vasemmalta.

Sen jälkeen kun ‘a+b–b’ -muotoisia laskuja oli esitetty 20, esitettiin koehenkilöille 20 uutta laskua (esim. 33+9–5). Ne koehenkilöistä, joita oli houkuteltu katsomaan laskun loppuosaa hyödynsivät tätä strategiaa selkeästi enemmän eli laskivat useammin 33+(9–5)=33+4=37.

Kolmannessa kokeessaan he lisäsivät uuden elementin analyyseihinsä. Osassa tehtävistä yksinkertaisesta liitännäisyyden hyödyntämisestä on ilmeistä etua (esim. ’23+29–27’), kun taas joissain tehtävissä se ei välttämättä tuota samanlaista hyötyä (esim. ’16+36–27’). Myös tässä kokeessa a+b–b -harjoittelu tuotti vaikutuksen. Sitä ensin harjoitelleet osasivat poimia paremmin laskut, joissa liitännäisyyden hyödyntämisestä oli apua.

Tutkimusten mukaan liitännäisyyslakia hyödynnetään laskemisessa vähemmän kuin esimerkiksi kommutatiivisuutta (a+b=b+a) tai käänteisyyttä (a–b=c, jolloin b+c=a). Arjen tilanteissa, joissa pitää laskea useampia lukuja yhteen tai vähentää, liitännäisyys on kuitenkin mitä mainioin apuväline. Sen käytön oppimista tukee harjoittelu, jossa tarkkaavuus ohjataan suoraan huomioimaan sen käyttömahdollisuus.

Viitteet

Eaves, J., Attridge, N., & Gilmore, C. (2019). Increasing the use of conceptually-derived strategies in arithmetic: using inversion problems to promote the use of associativity shortcuts. Learning and Instruction, 61, 84-98.

Onko nopeudella väliä? Käsitteellisen ja nopeusharjoittelun eroista ekaluokan matikassa ja kuka mistäkin harjoittelusta hyötyy?

Fuchs ja kumppanit (2019) palasivat vanhan tutkimusdatansa (Fuchs, ym., 2013) pariin, jossa lähes neljäsataa matemaattisilta taidoiltaan keskimääräistä heikompaa lasta osallistui kahteen erilaiseen interventioon. Tutkimukseen osallistuneet ekaluokkalaiset oppilaat jaettiin näihin ryhmiin satunnaisesti.

Molemmissa ryhmissä harjoiteltiin kolmesti viikossa 30 minuuttia kerrallaan 16 viikon ajan. Harjoittelusta viimeiset 5 minuuttia olivat erilaiset ryhmien välillä. Toisessa ryhmässä harjoittelu keskittyi laskustrategioiden käsitteellisen ymmärtämisen kehittämiseen ja toisessa opeteltiin nopeuttamaan luettelemisstrategiaa yhteen- ja vähennyslaskuissa.

Harjoittelun vaikutuksia mitattiin yksinumeroisilla yhteen- ja vähennyslaskuilla, kaksinumeroisilla laskutehtävillä, joita ei interventiossa ollut mukana sekä lukukäsitetehtävällä.

Tuloksia verrattiin sekä interventioryhmien välillä että suhteessa kontrolliryhmään. Nyt julkaistussa uudessa analyysissa tarkasteltiin myös sitä, vaikuttiko lapsen lähtötaso siihen, miten paljon hän hyötyi interventiosta.

Molemmat interventioryhmät paransivat kontrolliryhmään nähden merkittävästi osaamistaan. Interventioryhmistä nopeusharjoitteluryhmä paransi käsitteellisen strategiaharjoitteluryhmään nähden selkeästi enemmän suoriutumistaan kaikissa taitomittareissa.

Taitojen kehitys oli samankaltaista oppilaiden lähtötasosta riippumatta ja ero interventioiden välillä oli sama lähtötasosta riippumatta. Siis lähtötasoltaan heikoimmat ja paremmat molemmat hyötyivät samasta harjoittelusta enemmän.

Aina isoille ryhmille tehdyissä interventioissa löytyy oppilaita, jotka eivät siitä hyödy. Tässä tapauksessa käsitteellisestä harjoittelusta ei hyötynyt 13% otoksesta ja nopeusharjoittelusta hyötymättömiä oli 6% (mikä vastaa 3,25% ja 1,5% osuuksia kaikista oppilaista). 


Tutkijat tiivistävät päätuloksensa neljään kohtaan:
1. varhainen intensiivinen tuki tuottaa erittäin merkittäviä tuloksia perustaitoihin, joiden varaan oppiminen jatkossa rakentuu
2. on tärkeä jatkaa tutkimuksia, jotta löydettäisiin niitä tekijöitä, joiden perusteella jo ennen interventioita olisi löydettävissä ne oppilaat, jotka siitä eivät tule hyötymään
3. Kouluissa pitäisi olla välineitä analysoida tarkasti, ketkä kuntoutuksesta hyötyvät, jotta jatkotoimenpiteet osataan suunnitella asianmukaisesti. 
4. Tällaisille välineille pitäisi pystyä kehittämään kriteeristöt, mikä on riittävä ja mikä riittämätön määrä edistymistä, jotta tällaista arviota voidaan oppilaan näkökulmasta luotettavasti tehdä.

Viitteet



Fuchs, L. S., Fuchs, D., & Gilbert, J. K. (2019). Does the Severity of Students’ Pre-Intervention Math Deficits Affect Responsiveness to Generally Effective First-Grade Intervention?. Exceptional Children, 85(2), 147-162.

Fuchs, L. S., Geary, D. C., Compton, D. L., Fuchs, D., Schatschneider, C., Hamlett, C. L., … & Bryant, J. D. (2013). Effects of first-grade number knowledge tutoring with contrasting forms of practice. Journal of Educational Psychology, 105(1), 58.

Miten opimme ajattelemaan matemaattisesti?

Tätä kysymystä pohti kanadalainen Brain and Mind Institutin porukka (Hawes ym. 2019) tutkiessaan 4–11 -vuotiaiden lasten lukukäsite-, hahmotus- ja toiminnanohjauksellisten taitojen yhteyksiä matemaattisiin taitoihin (matemaattinen ja geometrinen päättely).

He tekivät näiden taitojen mittareiden välille ns. latenttien faktoreiden analyysin. Latentti tarkoittaa piilossa olevaa, mutta yksikertaistettuna kuvaten: he etsivät isosta mittarimäärästä niitä tehtäväryppäitä, jotka selittäisivät parhaiten eri mittareiden välillä olevia yhteyksiä toisiinsa.

Kaikki kolme, lukukäsite-, hahmotus- ja toiminnanohjaukselliset taidot ovat yhteydessä toisiinsa, mutta ainoastaan hahmottaminen ja lukukäsite selittivät matemaattisia taitoja. Tutkijat tarkastelivat vielä, voisiko toiminnanohjaus toimia jotenkin välittävänä tekijänä matemaattisten taitojen kehitykselle, mutta tälle mallille ei aineisto antanut tukea.

Tutkimus korostaa entisestään hahmottamisen taitojen keskeisyyttä matemaattisen ajattelun kehitykselle. Toiminnanohjauksellisten taitojen vähäisempi rooli matemaattisten tehtävien ratkaisuun oli yllätys, koska se on kuitenkin vahvassa yhteydessä hahmottamiseen ja lukukäsitteeseen. Tämä tulos osoittaa, että hahmottaminen ja toiminnanohjaus, vaikka ovatkin läheisessä suhteessa toisiinsa, ovat selkeästi erillisiä “piilossa olevia” tekijöitä taitojen kehityksen taustalla.

Viitteet

Hawes, Z., Moss, J., Caswell, B., Seo, J., & Ansari, D. (2019). Relations between numerical, spatial, and executive function skills and mathematics achievement: A latent-variable approach. Cognitive Psychology, 109, 68-90.

—-
Samainen Western Universityn ryhmä on julkaissut osan testitehtävistään myös vapaaseen käyttöön (http://www.numeracyscreener.org). Kyseisen nopean (1-2 min) lukukäsitettä mittaavan tehtävän voi kuka tahansa ladata netistä. Sivustolla on ohjeet ja laskukone tulosten vertaamiseksi kanadalaisiin normeihin.

(PS. Pyynnöstä voi Niilo Mäki Instituutista saada tämän lukukäsitetestiin ohjeistukset espanjaksi ja viitearvotietoja meksikolaisilta ekaluokkalaisilta, jos jollakulla sellaiselle nyt sattuu olemaan tarve. Ja jos tarve on taco-chilin polttava, niin voimmehan kääntää ne myös suomeksi).

Auttaako hahmottamisen harjoittelu matematiikassa?

Mekin olemme täällä kirjoittaneet paljon matemaattisten taitojen yhteyksistä hahmottamisen taitoihin, josta on kertynyt paljon vahvaa näyttöä.

Tästä nousee automaattisesti kysymys, parantaisikohan hahmottamisen harjoittelu suoraan myös matemaattisia taitoja. Rodán ja kumppanit (2019) päättivät kokeilla tätä vajaan sadan tokaluokkalaisen (7v.) aineistolla. Puolet porukasta laitettiin harjoittelemaan oheisen kuvan kaltaisia mentaalisen rotaation tehtäviä yhteensä 90 minuutin ajan, toisen puolen toimiessa kontrolliryhmänä.

Harjoittelu paransi selvästi sekä poikien että tyttöjen mentaalisen rotaation taitoja, mutta laskutaitohin tämä parannus ei vaikuttanut. Tutkijat pohtivat tulokselleen kahta mahdollista selitystä. Toisaalta harjoitteluaika oli varsin lyhyt ja toisaalta tässä iässä laskutehtävien ratkaiseminen tukeutuu vahvasti luettelemiseen ja siten kielellisiin taitoihin.

Tulemme jatkossa näkemään entistä enemmän tällaisia tutkimuksia, joissa hahmottamisen harjoittelua linkitetään matematiikkaan. Lisääntyvä tutkimus tulee kertomaan, millaisesta harjoittelusta mahdollisesti voisi olla hyötyä, ja millaisesta taasen ei. Molemmat tulokset ovat yhtä tärkeitä kun opetuksen kehittämistä mietitään.

Viitteet

Rodán, A., Gimeno, P., Elosúa, M. R., Montoro, P. R., & Contreras, M. J. (2019). Boys and girls gain in spatial, but not in mathematical ability after mental rotation training in primary education. Learning and Individual Differences, 70, 1-11.

Mikä viikonpäivä oli 18. syyskuuta 1990?

No tietysti tiistai.

Tämä kalenterilaskeminen on yksi ns. Savant-taidoista, joissa ihminen kykenee äärettömän nopeaan kognitiiviseen suoritukseen, johon harjoittelematon ei edes pysty. Näitä kapea-alaisia taitoja havaitaan toisinaan autismin spektrin kirjossa ja myös muilla henkilöillä, jotka ovat käyttäneet ison kasan tunteja yksittäisen, hyvin kapean taidon harjoitteluun.

Synestesia on toinen mielenkiintoinen aivojen erilaisuus. Synestesioita on useanlaisia, mutta yhteistä niille on eri aistiperustaisten havaintojen ja mielikuvien yhdistyminen. Jokin tuoksu, kirjain tai äänenkorkeus voi esimerkiksi luoda värimielikuvan. Prosessi on synesteetikoilla automaattinen, mutta osittain myös harjoittelemalla tuotettavissa.

Hughes kumppaneineen (2019) yhdisti nämä kaksi mielen erityisyyttä tutkimuksessaan. Siinä kaksi ryhmää, kalenterisynesteetikot ja normaalit kontrollit harjoittelivat kalenterilaskemista. Kalenterisynesteetikoille kalenteri piirtyy yleensä tilaan sijoittuvana kolmiulotteisena kuvana.

Molemmat ryhmät harjoittelivat otsikon kaltaista kalenterilaskemistaitoa. Se osoittautui varsin helpoksi harjoiteltavaksi laskusuorituksen yksinkertaisuuden vuoksi. Tunnin kokonaisharjoitteluajalla molemmat ryhmät pystyivät vastaamaan tehtäviin alle 10 sekunnissa 80% oikeellisuudella. Synesteetikot pesivät kuitenkin viimeisessä mittauksessa kontrolliryhmäläiset laudalta.

Tutkijat arvelivat, että autistien Savant-taitojen perusta saattaisikin liittyä synesteettisiin piirteisiin heidän kognitiossaan. Tämä mielenkiintoinen olettamus johtanee jatkotutkimuksiin.

Viitteet

Hughes, J. E., Gruffydd, E., Simner, J., & Ward, J. (2019). Synaesthetes show advantages in savant skill acquisition: Training calendar calculation in sequence-space synaesthesia. Cortex, 113, 67-82.