Jos ensin harjoittelee laskua 5+7–7 , niin 16+47–45 muuttuu helpommaksi –kokeellinen tutkimus aikuisilla

Vanha suomalainen sananlasku sanoo, että Nokia -connecting people, disconnecting families (Nokia yhdistää ihmiset, erottaa perheet). Myös matematiikassa nokialaisuus voi olla valttia. Yhdistämällä ja erottamalla lukuja eri tavoin voi päässälaskemisesta tehdä paljon helpompaa ja sujuvampaa.

Assosiatiivisuus eli liitännäisyys on monelle koulumatematiikasta tuttu, mutta helposti unohtuva sääntö. Koska yhteen- ja vähennyslasku ovat toisiinsa liittyviä, niin niissä lukuja voidaan siirrellä ja yhdistellä vapaasti “(3+2)+1=(1+2)+3” tai 5+2–5=2+(5–5). Samalla tavoin kerto- ja jakolasku muodostavat toiminnallisen parin.

Kun aikuisilla päässälaskutaito on ajan saatossa päässyt rapistumaan tai se ei koskaan ole kehittynytkään sujuvaksi, tuppaamme laskemaan suoraan muistista vasemmalta oikealle, emmekä helposti huomaa, että sama lasku olisi voinut olla paljon helpompi suorittaa liitännäisyyttä hyödyntäen. Otetaan vaikka esimerkiksi lasku ‘4+7+6’ ja vertaa sitä sitä laskuun ‘6+4+7’. Kumpi on mielestäsi helpompi laskea vasemmalta oikealle?

Eaves kumppaneineen (2019) teki kolme pientä kokeilua aikuisilla tavoitteenaan houkutella aikuisia huomaamaan liitännäisyyden hyödyntämisen edut. Koehenkilöinä oli yliopisto-opiskelijoita.

Kokeiden asetelma oli yksinkertainen. He laittoivat osan koehenkilöistä laskemaan ensin laskuja muodossa ‘8+5–5’ ja osan ‘5+8-5’, eli samoja laskuja, mutta ensimmäisessä liitännäisyys löytyy selkeästi oikealta puolelta laskua ja jälkimmäisessä se on molemmilla puolilla. Heidän ajatuksensa oli ainoastaan houkutella laskijaa kiinnittämään huomiota laskun oikeaan laitaan ennen laskemisen aloittamista. Näin liitännäisyyden mahdollisuus olisi helpompi huomata, eikä laskemista aloitettaisi suoraan mekaanisesti vasemmalta.

Sen jälkeen kun ‘a+b–b’ -muotoisia laskuja oli esitetty 20, esitettiin koehenkilöille 20 uutta laskua (esim. 33+9–5). Ne koehenkilöistä, joita oli houkuteltu katsomaan laskun loppuosaa hyödynsivät tätä strategiaa selkeästi enemmän eli laskivat useammin 33+(9–5)=33+4=37.

Kolmannessa kokeessaan he lisäsivät uuden elementin analyyseihinsä. Osassa tehtävistä yksinkertaisesta liitännäisyyden hyödyntämisestä on ilmeistä etua (esim. ’23+29–27’), kun taas joissain tehtävissä se ei välttämättä tuota samanlaista hyötyä (esim. ’16+36–27’). Myös tässä kokeessa a+b–b -harjoittelu tuotti vaikutuksen. Sitä ensin harjoitelleet osasivat poimia paremmin laskut, joissa liitännäisyyden hyödyntämisestä oli apua.

Tutkimusten mukaan liitännäisyyslakia hyödynnetään laskemisessa vähemmän kuin esimerkiksi kommutatiivisuutta (a+b=b+a) tai käänteisyyttä (a–b=c, jolloin b+c=a). Arjen tilanteissa, joissa pitää laskea useampia lukuja yhteen tai vähentää, liitännäisyys on kuitenkin mitä mainioin apuväline. Sen käytön oppimista tukee harjoittelu, jossa tarkkaavuus ohjataan suoraan huomioimaan sen käyttömahdollisuus.

Viitteet

Eaves, J., Attridge, N., & Gilmore, C. (2019). Increasing the use of conceptually-derived strategies in arithmetic: using inversion problems to promote the use of associativity shortcuts. Learning and Instruction, 61, 84-98.

Mitä kautta kulkee tie miehen sydämeen? Vakavasta aiheesta hieman kevyemmin.

Mikä mielenkiintoisempaa, mentaalisen rotaation harjoittelu anatomiaopintojen yhteydessä näyttäisi parantavan opintosuorituksia. Anatomia on kuin kolmiulotteinen palapeli, jonka hahmottamisen hallinta paranee sitä harjoittelemalla.

Tuoreessa meta-analyysissaan Langois kumppaneineen (2019) kävi läpi mitä tiedämme lääketieteen opiskelijoiden anatomian oppimisen ja visuo-spatiaalisten taitojen välisistä yhteyksistä. Yhteys on erittäin vahva: kyky hahmottaa mielessään esineitä erilaisista suunnista ja ihmisen anatomian ymmärtämisen taidot korreloivat erittäin vahvasti toistensa kanssa.

Voimmeko tästä siis vetää sellaisen johtopäätöksen, että jos kirurgi saapuu myöhästyneenä sydänleikkausta suorittamaan ja selittää syyksi sen, että oli eksynyt sairaalan käytävillä salia etsiessään, niin potilaalla on syytä huoleen? Ehkei ihan näin suoraan, mutta sen johtopäätöksen voimme luonnollisesti tehdä, että tie miehen sydämeen löytyy parhaiten hyvien visuo-spatiaalisten hahmotustaitojen avulla. Ja niitä taitoja voi harjoitella menestyksekkäästi.

Viitteet

Langlois, J., Bellemare, C., Toulouse, J., & Wells, G. A. (2019). Spatial abilities training in anatomy education: A systematic review. Anatomical sciences education.

Pitäisikö ammattiopintoihin liittää pakollisena hahmotustaitojen kurssi?

Tiedämme, että teknis-matemaattisilla aloilla pärjäävät paremmin sellaiset opiskelijat, joilla on hyvät visuo-spatiaalisen hahmottamisen taidot. Tiedämme myös, että matematiikan opinnot peruskouluiläisillä sujuvat paremmin, jos on vahva myös näissä hahmottamisen taidoissa. Yhteys matemaattiseen ongelmanratkaisun ja hahmottamisen välillä ei liity ainoastaan geometriaan tai algebraan, vaan myös sanallisten tehtävien ratkaisemiseen. Oppilaat, jotka pystyvät hyödyntämään mielikuvia kielellisenä esitettyjen tehtävien ongelmanratkaisussaan, onnistuvat ratkaisemaan myös haastavampia tehtäviä paremmin.

Tiedämme myös, että hahmottamisen taitoja voi harjoitella. Hahmottamisen harjoittelu parantaa suorituksia hahmottamista vaativissa tehtävissä kaiken ikäisillä. On siis hyvin perustelua kysyä, pitäisikö hahmottamisen taitojen harjoittamista sisältävä kurssi sisällyttää osaksi erityisesti teknis-matemaattisten alojen koulutusta.

Michigan Tech -oppilaitoksessa on näin toimittu jo pitkään, yli kaksikymmentä vuotta. Aluksi kurssit olivat vapaaehtoisia lisäkursseja. Tulokset kursseista olivat positiivisia, muuta koska kurssin suorittaminen perustui omaan valintaan, ei niille osallistuneiden ja osallistumattomien välillä oli voinut tehdä luotettavaa tieteellistä vertailua.

Vuodesta 2009 asti kurssi on sisällytetty pakollisena osaksi opintoja sellaisille opiskelijoille, joiden hahmotustaidot olivat insinööriopintojen alussa heikot. Veurink ja Sorby (2019) kokosivat nyt yhteen tulokset siitä, oliko kurssista hyötyä opinnoissa suoriutumiseen.

Yhden opintopisteen kurssilla opiskelijat kokoontuivat kerran viikossa 80 minuuttiselle sessiolle työskentelemään hahmotustehtävien pariin. Tehtävät perustuvat Sorbyn ja Wysockin (2012) kokoamaan harjoitusmateriaaliin.

Otoksessa oli mukana lähes 4000 opiskelijaa vuosilta 2009-2014. Jo lähtömittauksessa oli selvä ero naisten ja miesten välillä. Yli nejännes naisista jäi hahmotustaidoissaan alimpaan osaamiskategoriaan, kun miehistä siihen kuului alle yksi kymmenestä.

Seurannassa kävi ilmi, että kurssi paransi heikkojen hahmottajien visuo-spatiaalisia taitoja, mutta myös matemaattisten ja teknisen alojen kurssisuoritukset paranivat ja opintojen loppuunsaattamisosuudet kasvoivat. Jälkimmäinen havainto oli erityisen selkeä naisopiskelijoilla. Tutkijat päätyvätkin suositukseen, että ensimmäisen opintovuoden yhdeksi tavoitteeksi pitäisi ottaa hahmottamiseen liittyvien oppimisvalmiuksien kehittäminen.

Kuva: esimerkkitehtävä lähtötason arvioinnissa käytetystä hahmottamisen taitojen testistä

Viitteet

Sorby, S., and Wysocki, A. (2012). Developing Spatial Thinking. Clifton Park, NY: Delmar Cengage Learning.


Veurink, N. L., & Sorby, S. A. (2019). Longitudinal study of the impact of requiring training for students with initially weak spatial skills. European Journal of Engineering Education, 44(1-2), 153-163.

Hahmotusvaikeudet peruskoulun jälkeen

Hahku-hankkeen projektitutkija Suvi Ylönen kertoo, että toisella asteella haasteita opiskeluun voivat tuoda tuen puute, väärän alan valitseminen, motivaatio- ja sosiaalisten suhteiden ongelmat sekä puutteelliset perustaidot matematiikassa. Tässä ikävaiheessa vaikeuksia voi ilmetä myös ajokortin ajamiseen, armeijaan menoon sekä itsenäistymiseen liittyen.

Miten hahmottamisen vaikeudet vaikuttavat alan valintaan

Ammatillinen erityisopettaja Päivi Pietiläinen kertoo, että nuoren kanssa on tärkeää miettiä ja selvittää, millaisia kykyjä eri ammattialojen työt edellyttävät. Mikäli työ asettaa sellaisia vaatimuksia, joihin nuorta ei voi kuntouttaa, tulee hahmotusvaikeus esteeksi valmistua tai työllistyä. Esimerkiksi kaupan ala voi sopia hahmotushäiriöiselle hyvin, mutta logistiikka-alalla vastaan tulee monia haasteita. Neuropsykologi Pekka Räsänen kertoo, että opiskeluun liittyvät haasteet voivat tulla esille esimerkiksi terveydenhuollon opintoihin sisältyvissä lääkelaskuissa, rakennuspuolella mittaamisessa ja rakenteiden hahmottamisessa sekä kuljetusalalla peilien avulla peruuttamisessa.

Miten nuori voi löytää itselleen sopivan alan

Ammatillinen erityisopettaja Päivi Pietiläinen kertoo, että ensimmäisenä huomioitava asia on nuoren kiinnostus alaa kohtaan. Kahdeksannen luokan paikkeilla pitäisi ruveta kartoittamaan terveydenhuollon puoleltakin sitä, minkä verran hahmotushäiriöllä on vaikutusta nuoren arkeen ja ammatinvalintaan. Mikäli oppilas suuntautuu ammatilliseen koulutukseen, hänen kannattaa hankkia tarkempaa tietoa alasta ja sen vaatimuksista tutustumalla alaan sen opintoja tarjoavassa oppilaitoksessa sekä TET-jaksojen kautta.